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Fiche descriptive
Résolution numérique de quelques problèmes du type Helmholtz avec conditions au bord d'impédance ou des couches absorbantes (PML) (Document en Anglais)
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Modalités de diffusion de la thèse :
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Auteur : Tomezyk Jérôme
Date de soutenance : 02-07-2019
Directeur(s) de thèse : Nicaise Serge
Président du jury : Creusé Emmanuel
Membres du jury : Nicaise Serge
- Darbas Marion
- Péron Victor
- Sauter Stefan A.
Rapporteurs : Péron Victor
- Sauter Stefan A.
Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques et leurs Applications de Valenciennes - LAMAV
Ecole doctorale : Sciences pour l'ingénieur (SPI)
Tomezyk, Jérôme
Nom
Tomezyk
Prénom
Jérôme
Nationalité
Français
Date de soutenance : 02-07-2019
Directeur(s) de thèse : Nicaise Serge
Nicaise, Serge
Nom
Nicaise
Prénom
Serge
Président du jury : Creusé Emmanuel
Creusé, Emmanuel
Nom
Creusé
Prénom
Emmanuel
Membres du jury : Nicaise Serge
Nicaise, Serge
Nom
Nicaise
Prénom
Serge
Darbas, Marion
Nom
Darbas
Prénom
Marion
Péron, Victor
Nom
Péron
Prénom
Victor
Sauter, Stefan A.
Nom
Sauter
Prénom
Stefan A.
Rapporteurs : Péron Victor
Péron, Victor
Nom
Péron
Prénom
Victor
Sauter, Stefan A.
Nom
Sauter
Prénom
Stefan A.
Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques et leurs Applications de Valenciennes - LAMAV
Ecole doctorale : Sciences pour l'ingénieur (SPI)
Discipline : Mathématiques. Mathématiques appliquées
Classification : Mathématiques, Sciences de l'ingénieur
Mots-clés : Effet de pollutionCondition au bord d'impédance
Helmholtz, Équation d' -- Thèses et écrits académiquesMaxwell, Équations de -- Thèses et écrits académiquesÉléments finis, Méthode des -- Thèses et écrits académiques
Résumé : Dans cette thèse, nous étudions la convergence de méthode de type éléments finis pour les équations de Maxwell en régime harmonique avec condition au bord d'impédance et l'équation de Helmholtz avec une couche parfaitement absorbante (PML). On étudie en premier, la formulation régularisée de l'équation de Maxwell en régime harmonique avec condition au bord d'impédance (qui consiste à ajouter le term ∇ div à l'équation originale pour avoir un problème elliptique) et on garde la condition d'impédance comme une condition au bord essentielle. Pour des domaines à bord régulier, le caractère bien posé de cette formulation est bien connu mais cela n'est pas le cas pour des domaines polyédraux convexes. On commence alors le premier chapitre par la preuve du caractère bien posé dans le cas du polyèdre convexe, qui est basé sur le fait que l'espace variationnel est inclus dans H¹. Dans le but d'avoir des estimations explicites en le nombre d'onde k de ce problème, il est obligatoire d'avoir des résultats de stabilité explicites en ce nombre d'onde. C'est aussi proposé, pour quelques situations particulières, dans ce chapitre. Dans le second chapitre on décrit les singularités d'arêtes et de coins pour notre problème. On peut alors déduire la régularité de la solution du problème original, ainsi que de son adjoint. On a tous les ingrédients pour proposer une analyse de convergence explicite en k pour une méthode d'éléments finis avec éléments de Lagrange. Dans le troisième chapitre, on considère une méthode d'éléments finis hp non conforme pour un domaine à bord régulier. Pour obtenir des estimations explicites en k, on introduit un résultat de décomposition, qui sépare la solution du problème original (ou de son adjoint) en une partie régulière mais fortement oscillante et une partie moins régulière mais peu oscillante. Ce résultat permet de montrer des estimations explicites en k. Le dernier chapitre est dédié à l'équation de Helmholtz avec une PML. L'équation de Helmholtz dans l'espace entier est souvent utilisée pour modéliser la diffraction d'onde acoustique (en régime harmonique), avec la condition de radiation à l'infini de Sommerfeld. L'ajout d'une PML est une façon pour passer d'un domaine infini à un domaine fini, elle correspond à l'ajout d'une couche autour du domaine de calcul qui absorbe très vite toutes les ondes sortantes. On propose en premier un résultat de stabilité explicite en k. On propose alors deux schémas numériques, une méthode d'éléments finis hp et une méthode multi- échelle basée sur un sous-espace local de correction. Le résultat de stabilité est utilisé pour mettre en relation de choix des paramètres des méthodes numériques considérées avec k. Nous montrons aussi des estimations d'erreur a priori. A la fin de ces chapitres, des tests numériques sont proposés pour confirmer nos résultats théoriques.
Classification : Mathématiques, Sciences de l'ingénieur
Mots-clés : Effet de pollutionCondition au bord d'impédance
Helmholtz, Équation d' -- Thèses et écrits académiquesMaxwell, Équations de -- Thèses et écrits académiquesÉléments finis, Méthode des -- Thèses et écrits académiques
Résumé : Dans cette thèse, nous étudions la convergence de méthode de type éléments finis pour les équations de Maxwell en régime harmonique avec condition au bord d'impédance et l'équation de Helmholtz avec une couche parfaitement absorbante (PML). On étudie en premier, la formulation régularisée de l'équation de Maxwell en régime harmonique avec condition au bord d'impédance (qui consiste à ajouter le term ∇ div à l'équation originale pour avoir un problème elliptique) et on garde la condition d'impédance comme une condition au bord essentielle. Pour des domaines à bord régulier, le caractère bien posé de cette formulation est bien connu mais cela n'est pas le cas pour des domaines polyédraux convexes. On commence alors le premier chapitre par la preuve du caractère bien posé dans le cas du polyèdre convexe, qui est basé sur le fait que l'espace variationnel est inclus dans H¹. Dans le but d'avoir des estimations explicites en le nombre d'onde k de ce problème, il est obligatoire d'avoir des résultats de stabilité explicites en ce nombre d'onde. C'est aussi proposé, pour quelques situations particulières, dans ce chapitre. Dans le second chapitre on décrit les singularités d'arêtes et de coins pour notre problème. On peut alors déduire la régularité de la solution du problème original, ainsi que de son adjoint. On a tous les ingrédients pour proposer une analyse de convergence explicite en k pour une méthode d'éléments finis avec éléments de Lagrange. Dans le troisième chapitre, on considère une méthode d'éléments finis hp non conforme pour un domaine à bord régulier. Pour obtenir des estimations explicites en k, on introduit un résultat de décomposition, qui sépare la solution du problème original (ou de son adjoint) en une partie régulière mais fortement oscillante et une partie moins régulière mais peu oscillante. Ce résultat permet de montrer des estimations explicites en k. Le dernier chapitre est dédié à l'équation de Helmholtz avec une PML. L'équation de Helmholtz dans l'espace entier est souvent utilisée pour modéliser la diffraction d'onde acoustique (en régime harmonique), avec la condition de radiation à l'infini de Sommerfeld. L'ajout d'une PML est une façon pour passer d'un domaine infini à un domaine fini, elle correspond à l'ajout d'une couche autour du domaine de calcul qui absorbe très vite toutes les ondes sortantes. On propose en premier un résultat de stabilité explicite en k. On propose alors deux schémas numériques, une méthode d'éléments finis hp et une méthode multi- échelle basée sur un sous-espace local de correction. Le résultat de stabilité est utilisé pour mettre en relation de choix des paramètres des méthodes numériques considérées avec k. Nous montrons aussi des estimations d'erreur a priori. A la fin de ces chapitres, des tests numériques sont proposés pour confirmer nos résultats théoriques.
Type de contenu : Texte
Format : PDF
Format : PDF
Identifiant : uvhc-ori-oai-wf-1-2623
Type de ressource : Thèse
Type de ressource : Thèse