Analyse numérique de modèles de diffusion-sauts à volatilité stochastique : cas de l'évaluation des options (Document en Anglais, Français)
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Modalités de diffusion de la thèse :
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Auteur : Jraifi Abdelilah
Date de soutenance : 03-02-2014
Directeur(s) de thèse : Baghery Fouzia
- Aboulaich Rajae
Président du jury : Tkiouat Mohamed
Membres du jury : Baghery Fouzia
- Aboulaich Rajae
- Habbal Abderrahmane
- Ouerdiane Habib
- Boujena Soumaya
- Ellaia Rachid
- Pontier Monique
Rapporteurs : Boujena Soumaya
- Ellaia Rachid
- Pontier Monique
Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques et leurs Applications de Valenciennes - LAMAV
Ecole doctorale : Sciences pour l'ingénieur (SPI)
Jraifi, Abdelilah
Nom
Jraifi
Prénom
Abdelilah
Nationalité
MA
Date de soutenance : 03-02-2014
Directeur(s) de thèse : Baghery Fouzia
Baghery, Fouzia
Nom
Baghery
Prénom
Fouzia
Aboulaich, Rajae
Nom
Aboulaich
Prénom
Rajae
Président du jury : Tkiouat Mohamed
Tkiouat, Mohamed
Nom
Tkiouat
Prénom
Mohamed
Membres du jury : Baghery Fouzia
Baghery, Fouzia
Nom
Baghery
Prénom
Fouzia
Aboulaich, Rajae
Nom
Aboulaich
Prénom
Rajae
Habbal, Abderrahmane
Nom
Habbal
Prénom
Abderrahmane
Ouerdiane, Habib
Nom
Ouerdiane
Prénom
Habib
Boujena, Soumaya
Nom
Boujena
Prénom
Soumaya
Ellaia, Rachid
Nom
Ellaia
Prénom
Rachid
Pontier, Monique
Nom
Pontier
Prénom
Monique
Rapporteurs : Boujena Soumaya
Boujena, Soumaya
Nom
Boujena
Prénom
Soumaya
Ellaia, Rachid
Nom
Ellaia
Prénom
Rachid
Pontier, Monique
Nom
Pontier
Prénom
Monique
Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques et leurs Applications de Valenciennes - LAMAV
Ecole doctorale : Sciences pour l'ingénieur (SPI)
Discipline : Mathématiques. Mathématiques appliquées
Classification : Mathématiques, Sciences de l'ingénieur
Mots-clés : Processus de LévyVolatilité stochastiqueFormulation variationnelleMéthode des éléments finisMéthode de Monte CarloModèle d'élasticité constante de varianceMéthode de différences finiesÉvaluation des options.
Options (finances) -- Modèles mathématiquesEquations intégrodifférentielles -- Thèses et écrits académiquesProcessus stochastiques -- Thèses et écrits académiquesLévy, Processus de -- Thèses et écrits académiques
Résumé : Dans le monde économique, les contrats d'options sont très utilisés car ils permettent de se couvrir contre les aléas et les risques dus aux fluctuations des prix des actifs sous-jacents. La détermination du prix de ces contrats est d'une grande importance pour les investisseurs. Dans cette thèse, on s'intéresse aux problèmes d'évaluation des options, en particulier les options Européennes et Quanto sur un actif financier dont le prix est modélisé en multi dimensions par un modèle de diffusion-saut à volatilité stochastique avec sauts (1er cas considère la volatilité sans sauts, dans le 2ème cas les sauts sont pris en compte, finalement dans le 3ème cas, l'actif sous-jacent est sans saut et la volatilité suit un CEV modèle sans saut). Ce modèle permet de mieux prendre en compte certains phénomènes observés dans les marchés. Nous développons des méthodes numériques qui déterminent les valeurs des prix de ces options. On présentera d'abord le modèle qui s'écrit sous la forme d'un système d'équations intégro-différentielles stochastiques "EIDS", et on étudiera l'existence et l'unicité de la solution de ce modèle en fonction de ses coefficients, puis on établira le lien entre le calcul du prix de l'option et la résolution de l'équation Intégro-différentielle partielle (EIDP). Ce lien, qui est basé sur la notion des générateurs infinitésimaux, nous permet d'utiliser différentes méthodes numériques pour l'évaluation des options considérées. Nous introduisons alors l'équation variationnelle associée aux EIDP et démontrons qu'elle admet une unique solution dans un espace de Sobolev avec poids en s'inspirant des travaux de Zhang [106]. Nous nous concentrons ensuite sur l'approximation numérique du prix de l'option en considérant le problème dans un domaine borné, et nous utilisons pour la résolution numérique la méthode des éléments finis de type (P1), et un schéma d'Euler-Maruyama, pour se servir, d'une part de la méthode de différences finies en temps, et d'autre part de la méthode de Monté Carlo et la méthode Quasi Monte Carlo. Pour cette dernière méthode nous avons utilisé les suites de Halton afin d'améliorer la vitesse de convergence. Nous présenterons une étude comparative des différents résultats numériques obtenus dans plusieurs cas différents afin d'étudier la performance et l'efficacité des méthodes utilisées.
Classification : Mathématiques, Sciences de l'ingénieur
Mots-clés : Processus de LévyVolatilité stochastiqueFormulation variationnelleMéthode des éléments finisMéthode de Monte CarloModèle d'élasticité constante de varianceMéthode de différences finiesÉvaluation des options.
Options (finances) -- Modèles mathématiquesEquations intégrodifférentielles -- Thèses et écrits académiquesProcessus stochastiques -- Thèses et écrits académiquesLévy, Processus de -- Thèses et écrits académiques
Résumé : Dans le monde économique, les contrats d'options sont très utilisés car ils permettent de se couvrir contre les aléas et les risques dus aux fluctuations des prix des actifs sous-jacents. La détermination du prix de ces contrats est d'une grande importance pour les investisseurs. Dans cette thèse, on s'intéresse aux problèmes d'évaluation des options, en particulier les options Européennes et Quanto sur un actif financier dont le prix est modélisé en multi dimensions par un modèle de diffusion-saut à volatilité stochastique avec sauts (1er cas considère la volatilité sans sauts, dans le 2ème cas les sauts sont pris en compte, finalement dans le 3ème cas, l'actif sous-jacent est sans saut et la volatilité suit un CEV modèle sans saut). Ce modèle permet de mieux prendre en compte certains phénomènes observés dans les marchés. Nous développons des méthodes numériques qui déterminent les valeurs des prix de ces options. On présentera d'abord le modèle qui s'écrit sous la forme d'un système d'équations intégro-différentielles stochastiques "EIDS", et on étudiera l'existence et l'unicité de la solution de ce modèle en fonction de ses coefficients, puis on établira le lien entre le calcul du prix de l'option et la résolution de l'équation Intégro-différentielle partielle (EIDP). Ce lien, qui est basé sur la notion des générateurs infinitésimaux, nous permet d'utiliser différentes méthodes numériques pour l'évaluation des options considérées. Nous introduisons alors l'équation variationnelle associée aux EIDP et démontrons qu'elle admet une unique solution dans un espace de Sobolev avec poids en s'inspirant des travaux de Zhang [106]. Nous nous concentrons ensuite sur l'approximation numérique du prix de l'option en considérant le problème dans un domaine borné, et nous utilisons pour la résolution numérique la méthode des éléments finis de type (P1), et un schéma d'Euler-Maruyama, pour se servir, d'une part de la méthode de différences finies en temps, et d'autre part de la méthode de Monté Carlo et la méthode Quasi Monte Carlo. Pour cette dernière méthode nous avons utilisé les suites de Halton afin d'améliorer la vitesse de convergence. Nous présenterons une étude comparative des différents résultats numériques obtenus dans plusieurs cas différents afin d'étudier la performance et l'efficacité des méthodes utilisées.
Type de contenu : Texte
Format : PDF
Format : PDF
Identifiant : uvhc-ori-oai-wf-1-1333
Type de ressource : Thèse
Type de ressource : Thèse